Rolando Astarita [Blog]

Marxismo & Economía

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La ecuación Black-Scholes y un examen crítico (conclusión)

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La parte anterior de la nota, aquí

Presentación de la crítica de Mandelbrot

 A pesar de la sofisticación matemática y el amplio uso de los ordenadores, los modelos financieros basados en la ecuación Black-Scholes no previnieron a los inversores de la catástrofe de 2008-2009 (ni antes los previnieron del quiebre de LTCM, ni de la caída de las acciones tecnológicas en 2000-2001, etcétera). El problema de fondo es que los supuestos subyacentes a la ecuación -paseo aleatorio, hipótesis de mercados eficientes, enfoque de carteras, distribución de probabilidades normal- encierran problemas irremontables a la hora de dar cuenta de la realidad de los mercados financieros y, de hecho, la hacen inutilizable frente a variaciones bruscas.

En este respecto, tal vez la crítica más importante es la de Benoit Mandelbrot (1942-2010). Mandelbrot fue un científico que desarrolló, en los 1970, un nuevo tipo de matemática para describir la estructura geométrica de fenómenos irregulares, e inventó un nombre para las figuras involucradas: fractales. Aunque los fractales pueden ser naturales o construidos matemáticamente, se caracterizan por tener la misma estructura a todas las escalas. Por ejemplo, si se hace un mapa de las líneas costeras, dibujadas en diferentes escalas, se evidencia una distribución similar de bahías y promontorios. Pero además, en los 1960, o sea, antes de desarrollar su teoría de los fractales, Mandelbrot hizo un estudio de las series temporales de los precios del algodón en EEUU y encontró que sus distribuciones no eran gaussianas, y que la varianza del logaritmo de los cambios diarios de precios era errática, no convergente. Posteriormente utilizó sus investigaciones sobre los precios y la teoría de los fractales para explicar por qué la probabilidad de que haya variaciones extremas de los precios en los mercados financieros o de mercancías es mucho mayor de lo que admite la teoría ortodoxa. Lee el resto de esta entrada »

Written by rolandoastarita

27/06/2017 at 11:20

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Complemento a nota sobre la ecuación Black-Scholes

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A raíz de la segunda parte de la nota sobre la ecuación Black-Scholes (aquí), un lector del blog me escribió diciendo que no quedaba claro cómo se puede derivar el precio de una opción a partir de la formación de una cartera sin riesgo. Amplío entonces la explicación, presentando el llamado método binomial de determinación del precio de las opciones. Es la forma en que habitualmente se introduce la ecuación Black-Scholes (véase, por ejemplo, J. C. Hull, Options, Futures, and other Derivatives, Prentice Hall, 2012, cap. 12).

El método binomial

Se considera que es posible formar una cartera libre de riesgo consistente en tomar una posición en una acción y una posición contraria en la opción asociada a esa acción. Por ejemplo, comprar la acción y al mismo tiempo lanzar (vender) una opción de compra, o sea, un call, sobre esa acción. Se busca entonces conformar una cartera con un rendimiento igual a la tasa de interés libre de riesgo. Lee el resto de esta entrada »

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20/06/2017 at 12:46

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La ecuación Black Scholes y un análisis crítico (2)

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La primera parte de la nota, aquí

Aproximación intuitiva a la ecuación Black-Scholes

En la nota sobre derivados dijimos que el precio de la opción es función del precio de la acción subyacente. Ahora lo explicamos con el valor de una opción call sobre acciones. En lo que sigue designaremos con S el valor de la acción; T el momento del ejercicio; K el precio de ejercicio; C el valor del call. En principio, el valor del call dependerá de la diferencia entre el precio de la acción al momento del ejercicio, ST, y el precio de ejercicio. Por ejemplo, si ST = $25 y K = $20, C = $5. Obsérvese que si ST < K, el precio de la opción es 0. De manera que el rendimiento del call será igual a max (0, ST – K); es lo que se llama su valor intrínseco al momento de su vencimiento. Es claro entonces que el valor del call sobre una acción aumenta cuando aumenta el precio de la acción, y viceversa. También es función del tiempo (se explica más abajo).

Debido a que el valor del call está íntimamente vinculado al rendimiento esperado (µ) de la acción, para conocer el valor del call, dado el valor actual de la acción y conociendo su varianza (suponiendo también que es constante), habría que conocer µ. Sin embargo, como explicamos en la anterior parte de la nota, este rendimiento esperado de la acción está asociado al riesgo, y este es imposible de determinar. Por eso Black y Scholes eliminaron esta incógnita formando una cartera teórica sin riesgo que reproduce el valor de la opción. Esto es, la idea fue construir una cartera que elimina la fuente de incertidumbre. Lee el resto de esta entrada »

Written by rolandoastarita

17/06/2017 at 17:42

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La ecuación Black Scholes y un análisis crítico (1)

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Esta nota está pensada principalmente para alumnos de carreras de Economía.

Introducción

En una extensa nota anterior hemos analizado los derivados y la teoría de Bryan y Rafferty sobre los mismos (aquí y siguientes). En esta nota complementamos aquella entrada con una presentación y análisis crítico de la ecuación Black Scholes. La misma fue desarrollada a principios de los 1970 por Fisher Black y Myron Scholes, para determinar el precio de las opciones. Más tarde Robert Merton . En 1997 Scholes y Merton recibieron el premio Nobel (Black había fallecido). La ecuación Black- Scholes, con el aporte de Merton, se ha convertido en la base del enfoque neoclásico ortodoxo sobre derivados.  Por ejemplo, en Introducción al análisis de los productos financieros derivados, Rodríguez de Castro escribe:

“El modelo de Black-Scholes es, en opinión del autor, el modelo económico con mayor éxito de toda la historia financiera y económica del siglo XX, ya que ofrece con elegancia y economía de exposición admirables una fórmula precisa para calcular con bastante exactitud el valor de las opciones… Los múltiples modelos surgidos tras el modelo de Black-Scholes no son en su mayor parte sino generalizaciones del trabajo de estos… (…) El modelo Black-Scholes… es usado diariamente con solo pequeñas modificaciones por miles de personas en instituciones financieras para manejar enormes carteras de valores, divisas y materias primas. Aunque todos los participantes del mercado sabemos que el modelo Black-Scholes no es totalmente exacto, sabemos también muy bien ‘de qué pie cojea’, por lo que resulta fácil calibrarlo para que se ajuste más fielmente a la realidad” (p. 32). Lee el resto de esta entrada »

Written by rolandoastarita

10/06/2017 at 19:34

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