Rolando Astarita [Blog]

A raíz de la segunda parte de la nota sobre la ecuación Black-Scholes (aquí), un lector del blog me escribió diciendo que no quedaba claro cómo se puede derivar el precio de una opción a partir de la formación de una cartera sin riesgo. Amplío entonces la explicación, presentando el llamado método binomial de determinación del precio de las opciones. Es la forma en que habitualmente se introduce la ecuación Black-Scholes (véase, por ejemplo, J. C. Hull, Options, Futures, and other Derivatives, Prentice Hall, 2012, cap. 12).

El método binomial

Se considera que es posible formar una cartera libre de riesgo consistente en tomar una posición en una acción y una posición contraria en la opción asociada a esa acción. Por ejemplo, comprar la acción y al mismo tiempo lanzar (vender) una opción de compra, o sea, un call, sobre esa acción. Se busca entonces conformar una cartera con un rendimiento igual a la tasa de interés libre de riesgo.

El supuesto de partida es que existen dos precios posibles de la acción al momento del vencimiento de la opción. Un precio Sa, alcista; y un precio Sb, bajista. Por lo tanto, habrá dos precios de la opción al momento del vencimiento. Pero la cartera contiene un número de acciones tal que en cualquiera de los casos su rendimiento es el mismo. Y de allí se retrocede para calcular el precio de la opción al momento de su venta, utilizando la tasa de interés libre de riesgo para calcular el valor presente de la cartera. De esta forma estará determinado el valor de la opción. Lo ilustramos con un ejemplo.

Supongamos que una acción hoy tiene un precio S = $12. Supongamos que dentro de un año se prevé que la acción puede valer $15 o $10 (Sa y Sb respectivamente). Si esto es así, habrá dos posibilidades de precio de la opción. Si es Sa, el precio de la opción Ca = max [0; 15 – 12] = $3. Si es Sb, será Cb = max [0; 10 – 12] = $0.

Se calcula entonces el número de acciones que deben adquirirse con el fin de que ambas carteras tengan el mismo rendimiento a la fecha de vencimiento. Sea δ ese número de acciones.

Si al vencimiento de la opción el precio de la acción es Sa, el rendimiento de la cartera será 15δ – 3; si al vencimiento el precio de la acción es Sb, el rendimiento de la cartera será 10δ. Dado que queremos que los dos rendimientos sean iguales, igualamos 15δ – 3 = 10δ. Se desprende que δ = 0,6. Es la cantidad de acción que hay que comprar para conformar esa cartera. Observemos también que si al momento del vencimiento el precio de la acción es Sa, el rendimiento de la cartera será 15 × 0,6 – 3 = $6. Si el precio es Sb, el rendimiento también será 10 × 0,6 = $6.

Por otra parte, el valor de la cartera al momento de comprar la acción, y vender el call, será igual al precio de la acción, por la cantidad de acción que se compra, menos el valor del call, C. Esto es, 12 × 0,6 – C. Dado que esta cartera, dentro de un año, dará un rendimiento de $6, su valor presente será igual a $6 descontado a la tasa de interés libre de riesgo. Supongamos que esta es del 3%. Por lo tanto, el valor presente de la cartera será 6 × e ^-0,03= $5,82. De manera que 12 × 0,6 – C = 5,82. Despejando, se obtiene que C = $1,38.

Hacia la ecuación Black-Scholes

En este ejemplo supusimos que en un año habría dos resultados posibles. Pero es posible reducir el plazo temporal, aumentando el número de pasos. Por ejemplo, suponiendo que en 6 meses hay dos precios posibles de la acción, que a su vez dan lugar a otros dos precios posibles (aunque 2 de ellos coinciden); luego suponer 3 meses, 1 mes, semanas, etcétera. En cada paso temporal hay un movimiento binomial del precio de las acciones. A medida que se incrementan los pasos, el modelo binomial hace los mismos supuestos acerca del movimiento de los precios de las acciones que el modelo Black-Scholes (y Merton). En cada paso se supone que existe una determinada probabilidad de que suba el precio en cierto porcentaje, y una determinada probabilidad de que baje. Como explicamos en la primera parte de la nota, se supone que el precio de las acciones sigue un camino aleatorio, y que los cambios porcentuales del precio de la acción en un período de tiempo están distribuidos normalmente. Subrayamos de nuevo, se trata de un movimiento, conocido como movimiento browniano, que está tomado de la física.

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Complemento a nota sobre la ecuación Black-Scholes