Rolando Astarita [Blog]

La primera parte de la nota, aquí

Aproximación intuitiva a la ecuación Black-Scholes

En la nota sobre derivados dijimos que el precio de la opción es función del precio de la acción subyacente. Ahora lo explicamos con el valor de una opción call sobre acciones. En lo que sigue designaremos con S el valor de la acción; T el momento del ejercicio; K el precio de ejercicio; C el valor del call. En principio, el valor del call dependerá de la diferencia entre el precio de la acción al momento del ejercicio, S_T, y el precio de ejercicio. Por ejemplo, si S_T = $25 y K = $20, C = $5. Obsérvese que si S_T < K, el precio de la opción es 0. De manera que el rendimiento del call será igual a max (0, S_T – K); es lo que se llama su valor intrínseco al momento de su vencimiento. Es claro entonces que el valor del call sobre una acción aumenta cuando aumenta el precio de la acción, y viceversa. También es función del tiempo (se explica más abajo).

Debido a que el valor del call está íntimamente vinculado al rendimiento esperado (µ) de la acción, para conocer el valor del call, dado el valor actual de la acción y conociendo su varianza (suponiendo también que es constante), habría que conocer µ. Sin embargo, como explicamos en la anterior parte de la nota, este rendimiento esperado de la acción está asociado al riesgo, y este es imposible de determinar. Por eso Black y Scholes eliminaron esta incógnita formando una cartera teórica sin riesgo que reproduce el valor de la opción. Esto es, la idea fue construir una cartera que elimina la fuente de incertidumbre.

Por ejemplo, supongamos que A vende un call sobre una acción, pero no posee la acción. Existe entonces un riesgo para A, que consiste en que si al momento del ejercicio S_T > K, A deberá comprar la acción en el mercado al precio S_T, y entregarla al comprador de la opción al precio de ejercicio K. En ese caso tendría una pérdida. Para protegerse A entonces toma prestado X cantidad de dinero (por el que paga la tasa de interés libre de riesgo) y compra la acción subyacente (o una fracción de la acción), a fin de estar cubierto. Por ejemplo, supongamos que el cambio dS del precio de la acción provoca un cambio dC del precio del call según la siguiente ecuación: dC = 0,4 dS. La cartera sin riesgo sería una posición larga en 0,4 acciones, y una posición corta en una opción call. Supongamos que el precio de la acción sube 10 centavos; el precio de la opción subirá entonces 4 centavos. Por lo tanto, la ganancia de 0,4 × 10 = 4 centavos sobre las acciones será igual a la pérdida de 4 centavos sobre la posición corta en la opción (Hull, 2012, p. 308). En la ecuación Black Scholes la cartera se está ajustando con frecuencia, ya que la correlación entre el valor de la acción y la opción se modifica.

El planteo de Black y Scholes asume entonces, bajo ciertos supuestos, que es posible determinar cómo A puede ir ajustando continuamente su cartera, de manera de estar siempre cubierto del riesgo. El objetivo es que al momento del vencimiento el valor de la deuda contraída sea igual al precio de ejercicio de la acción. Si al momento del vencimiento S_T < K, el comprador no ejercerá la opción y A no tendrá acción alguna en su cartera. Se supone que el precio de la acción al momento del vencimiento del call puede tomar cualquier valor, según una distribución log-normal. No se considera una distribución normal porque en ese caso la variable puede tener valores negativos, y los precios de las acciones no pueden ser negativos. Por lo tanto, a fin de evitar los precios negativos se supone que los logaritmos de los precios de las acciones están normalmente distribuidos.

Se asume, además, que los cambios en los precios de las acciones tienen un componente determinista, que es función del tiempo, y un componente estocástico, dz. Sea S el precio de la acción en el tiempo t, y dS el cambio infinitesimal de S. La tasa de cambio del precio de las acciones entonces es dS/S = µ dt + σ dz, donde µ es la tasa de rendimiento anualizada esperada de la acción en el corto plazo, y σ dz es la volatilidad de la acción en un año.

Se supone entonces que se forma una cartera libre de riesgo, compuesta por el derivado (vendido) y un porcentaje de acción (comprada). Como explicamos más arriba, esta cartera se va ajustando de forma continua, en función de los cambios del precio de la acción, S; o sea, el cambio del valor de la cartera se debe solo a cambios en el precio de la acción (se supone que la acción no paga dividendos durante la vida de la opción). En ningún momento se intenta predecir los movimientos de precios de la acción, ya que el proceso es aleatorio. Además, al haberse neutralizado el riesgo, desaparece µ, el rendimiento esperado. La ecuación Black-Scholes (que no reproducimos aquí) busca entonces determinar el número de acciones que el vendedor del call debe comprar a fin de estar cubierto.

El precio teórico de la opción

A partir de la ecuación Black-Scholes se deduce la ecuación que determina el precio teórico del call. Es: C = SN(d1) – Ke^–rT N(d2), donde C es el precio teórico del call; S es el precio actual de la acción; K el precio de ejercicio; T el tiempo al vencimiento; r la tasa de interés libre de riesgo; d1 y d2 son parámetros que ajustan el precio de la acción y el valor a pagar en el ejercicio, respectivamente, por la volatilidad, la tasa de interés y la diferencia entre el valor de la acción y el precio de ejercicio; N(.) representa una función de distribución acumulativa normal.

La ecuación del precio teórico del call establece que este aumenta cuando aumenta el valor de la acción, S. También aumenta cuanto mayor sea la volatilidad de la acción. La razón es que se considera que cuanto mayor sea la volatilidad, más probabilidades habrá de que al vencimiento la opción esté in the money (si S_T < K la opción no se ejerce). El precio de la opción también sube cuanto mayor sea el tiempo al vencimiento. Para entender este supuesto, supongamos que cuando falta muy poco tiempo para el vencimiento del call el precio de ejercicio es menor que el precio de la opción (se dice que esta se halla out of the money). Entonces es baja la probabilidad de que el precio de la acción llegue a superar el precio de ejercicio. En cambio, si el tiempo para el vencimiento del call es mayor, hay más probabilidad de que el precio de ejercicio supere al precio de la acción.

Por otra parte se asume que :1) está permitida sin límites la venta en corto de activos (esto es, vender el activo sin poseerlo); 2) no existen costos de transacción (por ejemplo, comisiones a los agentes de bolsa) ni impuestos; 3) todos los activos son infinitamente divisibles; 4) la acción no paga dividendos durante el tiempo de duración del derivado; 5) la tasa de interés libre de riesgo es constante y la misma para todos los plazos.

Utilización de la ecuación Black-Scholes

La ecuación Black-Scholes proporcionó un procedimiento para fijar los precios de las opciones, contribuyendo al despegue del mercado de los derivados. La ecuación dio incluso una sensación de seguridad.  Aunque en la práctica la mayoría de los inversores no conocen la matemática detrás de la fórmula Black-Scholes, utilizan calculadores en línea en los que cargan datos (por ejemplo, precio de ejercicio, precio de la acción, tiempo para el ejercicio, volatilidad y tasa de interés libre de riesgo) en base a la cual obtienen el precio del call o put. Es un proceso mecánico, que tiene como trasfondo la física matemática. Por eso, desde los 1980 muchos físicos –se los conoce como quants– fueron contratados por fondos de inversión y otras instituciones financieras de Wall Street, donde se dedicaron a realizar intrincados cálculos del precio y riesgo en los derivados, usando modelos  inspirados en el movimiento browniano.

Texto citado:
Hull, J. C. (2012): Options, Futures and other Derivatives, Prentice Hall.

Descargar el documento: [varios formatos siguiendo el link, opción Archivo/Descargar Como:
La ecuación Black Scholes y un análisis crítico (2)