Rolando Astarita [Blog]

Esta nota está pensada principalmente para alumnos de carreras de Economía.

Introducción

En una extensa nota anterior hemos analizado los derivados y la teoría de Bryan y Rafferty sobre los mismos (aquí y siguientes). En esta nota complementamos aquella entrada con una presentación y análisis crítico de la ecuación Black Scholes. La misma fue desarrollada a principios de los 1970 por Fisher Black y Myron Scholes, para determinar el precio de las opciones. Más tarde Robert Merton . En 1997 Scholes y Merton recibieron el premio Nobel (Black había fallecido). La ecuación Black- Scholes, con el aporte de Merton, se ha convertido en la base del enfoque neoclásico ortodoxo sobre derivados.  Por ejemplo, en Introducción al análisis de los productos financieros derivados, Rodríguez de Castro escribe:

“El modelo de Black-Scholes es, en opinión del autor, el modelo económico con mayor éxito de toda la historia financiera y económica del siglo XX, ya que ofrece con elegancia y economía de exposición admirables una fórmula precisa para calcular con bastante exactitud el valor de las opciones… Los múltiples modelos surgidos tras el modelo de Black-Scholes no son en su mayor parte sino generalizaciones del trabajo de estos… (…) El modelo Black-Scholes… es usado diariamente con solo pequeñas modificaciones por miles de personas en instituciones financieras para manejar enormes carteras de valores, divisas y materias primas. Aunque todos los participantes del mercado sabemos que el modelo Black-Scholes no es totalmente exacto, sabemos también muy bien ‘de qué pie cojea’, por lo que resulta fácil calibrarlo para que se ajuste más fielmente a la realidad” (p. 32).

Por otra parte, la fórmula Black-Scholes (y Merton) parece tener una ponderación por lo menos ambigua en algunos críticos de la economía neoclásica. Por caso, Bryan y Rafferty sostienen que fue exitosa para determinar el precio de las opciones, y citan sin crítica a Näslund (presentador del premio Nobel) cuando dice que el método de Black- Scholes “pavimentó el camino para las evaluaciones económicas en muchas áreas”. Agregan que “(l)a fórmula también ofreció la posibilidad de hacer dinero” (p. 3). Sin embargo, también recuerdan la quiebra del fondo especulativo Long Term Capital Management, dirigido por Scholes y Merton, y dicen que esa experiencia demostró el carácter “complejo e impredecible del mundo de los derivados” (p. 4). Lo cual parece cuestionar la idea de que la fórmula habría “pavimentado el camino” para establecer los precios de las opciones, y más en general, de los derivados.

Esta tensión la encontramos también en Ian Stewart, quien en 17 ecuaciones que cambiaron el mundo se refiere a ella como “la fórmula de Midas”. Sostiene que así como hizo posible comerciar un derivado antes de que venza asignándole un valor “racional”, también provocó el “crecimiento masivo del sector financiero, instrumentos cada vez más complejos, aumento repentino, salpicado con quiebras, en la prosperidad económica, turbulentos mercados de valores en los noventa del siglo pasado, la crisis financiera del 2008-2009 y la depresión económica actual” (p. 338).

A fin de avanzar en la clarificación de estas cuestiones, en lo que sigue introducimos el modelo Black-Scholes, para luego reseñar algunas de las principales críticas que se le han formulado. Si bien la derivación de la ecuación exige un elevado nivel de matemáticas, intentaremos una aproximación lo más intuitiva posible a su idea básica. Lo central es ver cómo la teoría financiera que toma cuerpo en la ecuación Black-Scholes se corresponde con la idea de que la economía se asemeja a la física y disimula, con un extenso uso de las matemáticas, supuestos irrealistas. La nota se divide en dos partes.

Antecedentes y premisas de la ecuación Black-Scholes

a) Movimiento browniano y mercados eficientes

 En la base de la ecuación Blach-Scholes se encuentra el modelo de un paseo aleatorio de los precios de las acciones. Un paseo aleatorio está conformado, por ejemplo, por los resultados de arrojar repetidas veces un dado; por los lugares en que pastorea un caballo en un prado; por la evolución de la temperatura en un tiempo dado; o por los valores observados en una medición.

El primero en considerar los movimientos de los precios de activos financieros como un paseo aleatorio fue, a principios del siglo XX, el matemático francés Louis Bachelier, quien era discípulo de Poincaré. Bachelier sostuvo que una vez que la especulación incorpora la información disponible acerca del valor de un activo (supongamos, una acción), los precios del activo mostrarán fluctuaciones impredecibles, que son independientes de su historia pasada. Precisemos que aquí “impredecible” no es sinónimo de irracional o fortuito, ya que a posteriori siempre se puede encontrar una explicación a determinado movimiento. Lo que decía Bachelier –y está en el corazón de la teoría neoclásica sobre los precios de los activos- es que los movimientos no se pueden predecir. Esta idea está en el corazón de la teoría neoclásica de los precios de los activos financieros, y por eso, a falta de noticias o informaciones que empujen al precio, se asume que este fluctuará en torno a un valor medio. Lo cual significa que los cambios se distribuirán de forma normal, o sea, según la campana de Gauss: muchos cambios pequeños agrupados alrededor del centro de la campana, y pocos cambios grandes en las colas.

Pues bien, este tipo de movimiento es lo que en física se conoce como movimiento browniano, el cual registra el camino aleatorio seguido por una partícula suspendida en un gas o en un líquido. Aquí se asume que los átomos del fluido en el que flota la partícula están chocando aleatoriamente con ella y dándole impulsos diminutos. En consecuencia, su posición en cada instante depende solo de su posición en el estadio previo y de alguna variable aleatoria que determina su posición siguiente. La historia previa del movimiento de la partícula no se tiene en cuenta.

Aunque en su época la idea de Bachelier no tuvo repercusión, fue reflotada en los años 1950 y 1960 por economistas anglosajones para el análisis de los movimientos de los activos financieros. Por otra parte, en los 1960, Eugene Fama elaboró la hipótesis “de los mercados eficientes”, que reforzó la idea del paseo aleatorio. La hipótesis dice que el precio del activo ya refleja toda la información disponible entre los inversores, y por lo tanto el futuro movimiento del precio solo estará determinado por nueva información. Dado que por definición esa nueva información es impredecible, el camino seguido hasta el presente por el precio de un activo no tiene relevancia, y del movimiento pasado solo interesa la desviación estándar.

Para que se entienda lo que se está diciendo: si, por ejemplo, el lunes la bolsa de Wall Street baja un 5%, la teoría neoclásica ortodoxa dirá que la baja del lunes no tiene influencia en la actitud de los inversores el martes, y por lo tanto en el movimiento de los precios el martes (ni en los días o meses subsiguientes). Una consecuencia de la hipótesis de mercados eficientes es que es imposible “ganarle al mercado”, ya que es imposible que un inversor compre una acción subvaluada, o venda una acción sobrevaluada. Esto significa que no hay posibilidad de burbujas financieras; es que si los activos están sobrevaluados, por ejemplo, ¿por qué los inversores sagaces no se aprovechan y venden?

b) Enfoque de cartera

Un segundo antecedente de la teoría ortodoxa sobre los precios de los activos financieros es el llamado enfoque de cartera, desarrollado por Markowitz y Tobin (para una introducción véase Pierce, 1984 y Harris, 1985). Para explicar en qué consiste, supongamos que los inversionistas esperan que un activo financiero -supongamos, una acción- asuma un cierto valor dentro de cierto intervalo. Sin embargo, estos inversores no tienen certeza de cuál será ese valor. Por lo tanto, Markowitz y Tobin suponen que se puede describir el estado de sus expectativas mediante una distribución de probabilidades. Con lo cual surge un promedio, o tendencia central de la distribución de probabilidad, que indica el rendimiento esperado, o esperanza matemática, µ, de la acción para determinada fecha. Para verlo con un ejemplo, supongamos que comprando la acción de la empresa X se establece la siguiente distribución de probabilidades de ganancia de aquí a un año: a) 50% de probabilidad de ganar $1000; b) 35% de ganar $200; c) 15% de perder 500. La esperanza matemática, µ, de ganancia entonces es 1000× 0,5 + 200× 0,35 – 500 × 0,15 = 450.

Para predecir el valor medio de la acción, por caso, se hacen previsiones de las ganancias de la empresa, o de la situación del sector, o de la situación económica de otros sectores que puedan estar relacionados con la empresa, etcétera.

En segundo lugar, surge la desviación estándar, σ, que mide la extensión de la divergencia de los valores probables con la esperanza matemática, o valor medio. Pero además, se supone que esa distribución de probabilidades es normal; o sea, que la distribución de los rendimientos probables de la acción se ajusta a la campana de Gauss. Lo cual significa que se excluyen los valores extremos. Así, por ejemplo, supongamos que la curva normal de la distribución de probabilidades del precio de la acción tenga una media de 40, y que la desviación estándar sea 5. Esto significa que habrá un 68,26% de probabilidades de que el precio de la acción esté entre 35 y 45; un 94.9% de probabilidades de que el precio de la acción esté entre 30 y 50; y un 98,57% de probabilidades de que esté entre 25 y 55. En principio, esta distribución no excluye un valor extremo, por ejemplo 10 o 90, pero la posibilidad es ínfima. Por eso se dice que las colas de la campana de Gauss se adelgazan hasta hacerse casi imperceptibles. Se trata de otra característica esencial del movimiento browniano: las fluctuaciones grandes son muy improbables, prácticamente despreciables. Tengamos en cuenta, además, que la desviación estándar se toma como medida del riesgo. Por lo cual, al normalizar la volatilidad de una acción (u otro activo financiero) mediante la campana de Gauss estándar, el riesgo tiende a desaparecer.

Una consecuencia del enfoque es que a fin de disminuir el riesgo las carteras deben ser diversificadas en activos no correlacionados.

c) Capital Asset Princing Model, o CAPM

El tercer antecedente importante fue el cálculo del valor de la acción de una empresa según el método CAPM, siglas en inglés de Capital Asset Pricing Model, que relaciona el rendimiento de una acción con el rendimiento del promedio del mercado. La ecuación es muy sencilla. Si R es la rentabilidad de un activo sin riesgo (o la tasa de interés libre de riesgo, por ejemplo, de una letra del Tesoro de EEUU); y µ_m es la rentabilidad anual esperada del mercado de referencia, la rentabilidad esperada de la acción i, a la que designaremos µ_i será: µ_i = R + β(µ_m – R). Por ejemplo, si R = 2%, µ_m = 5,5%, β = 1,3, aplicando la fórmula nos dará que µ_i = 6,55%. Se postula también que la distribución de los precios posibles de las acciones es log-normal; dado que el rendimiento de la acción depende del precio, su distribución también es log-normal. También se supone que la volatilidad es constante.

El cálculo de la rentabilidad esperada de la acción, µ_i , es mecánico, en el que se da por supuesto que la acción variará en alguna proporción más o menos establecida con respecto a la variación del mercado en general. No hay aquí ninguna ley económica más o menos fundamental. El rendimiento de la acción se remite al rendimiento promedio, que se toma como un dato. El parámetro β también es meramente empírico. No encontramos siquiera una alusión a los fundamentos del valor y la valorización; y menos todavía a las relaciones sociales subyacentes.

En cualquier caso, el CAPM tuvo influencia directa en la construcción del modelo Black-Scholes, ya que indujo a eliminar µ en el cálculo del valor de las opciones sobre acciones. La razón es que aunque se suponga la distribución normal y la volatilidad constante, el valor esperado de la acción, y de la opción correspondiente, depende de µ, que a su vez está determinado por lo que se llama “el precio del riesgo”, que no es observable en el mercado.

Textos citados:
Bryan, D. y M. Rafferty (2006): Capitalism with derivatives, Palgrave Macmillan.
Harris, L. (1985): Teoría monetaria México FCE cap. 10.
Pierce, J. L. (1984): Monetary and Financial Economics Nueva York, Wiley.
Rodríguez de Castro, J. (2000): Introducción al análisis de productos financieros derivados. Futuros, opciones, forwards, swaps, México, Limusa Grupo Noriega de editores.
Stewart, I. (2013): 17 ecuaciones que cambiaron el mundo, Crítica, Barcelona.

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La ecuación Black Scholes y un análisis crítico (1)