Rolando Astarita [Blog]

Marxismo & Economía

La ecuación Black-Scholes y un examen crítico (conclusión)

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La parte anterior de la nota, aquí

Presentación de la crítica de Mandelbrot

 A pesar de la sofisticación matemática y el amplio uso de los ordenadores, los modelos financieros basados en la ecuación Black-Scholes no previnieron a los inversores de la catástrofe de 2008-2009 (ni antes los previnieron del quiebre de LTCM, ni de la caída de las acciones tecnológicas en 2000-2001, etcétera). El problema de fondo es que los supuestos subyacentes a la ecuación -paseo aleatorio, hipótesis de mercados eficientes, enfoque de carteras, distribución de probabilidades normal- encierran problemas irremontables a la hora de dar cuenta de la realidad de los mercados financieros y, de hecho, la hacen inutilizable frente a variaciones bruscas.

En este respecto, tal vez la crítica más importante es la de Benoit Mandelbrot (1942-2010). Mandelbrot fue un científico que desarrolló, en los 1970, un nuevo tipo de matemática para describir la estructura geométrica de fenómenos irregulares, e inventó un nombre para las figuras involucradas: fractales. Aunque los fractales pueden ser naturales o construidos matemáticamente, se caracterizan por tener la misma estructura a todas las escalas. Por ejemplo, si se hace un mapa de las líneas costeras, dibujadas en diferentes escalas, se evidencia una distribución similar de bahías y promontorios. Pero además, en los 1960, o sea, antes de desarrollar su teoría de los fractales, Mandelbrot hizo un estudio de las series temporales de los precios del algodón en EEUU y encontró que sus distribuciones no eran gaussianas, y que la varianza del logaritmo de los cambios diarios de precios era errática, no convergente. Posteriormente utilizó sus investigaciones sobre los precios y la teoría de los fractales para explicar por qué la probabilidad de que haya variaciones extremas de los precios en los mercados financieros o de mercancías es mucho mayor de lo que admite la teoría ortodoxa.

En lo que sigue sintetizamos las principales críticas de Mandelbrot a la ecuación Black-Scholes y la teoría neoclásica, contenidas en Fractales y finanzas. Este libro fue escrito por Mandelbrot con la colaboración de Richard Hudson, ex editor del Wall Street Journal, y publicado en 2004. En la última parte de la nota volvemos a enfatizar la importancia de superar el modelo de la física -en especial, el modelo de la física newtoniana- en el estudio de los fenómenos económicos y las relaciones sociales.

El supuesto del movimiento browniano

En la parte 2 de esta nota hemos señalado que la ecuación Black-Scholes se basa en supuestos que tienen una alta dosis de irrealismo. Sin embargo, el que afecta de manera más radical a los fundamentos de la tesis neoclásica es el supuesto del movimiento browniano, detrás del cual “subyacen varias asunciones cardinales” (Mandelbrot y Hudson, 2010, p. 104).

Crítica al supuesto de la independencia estadística

Un supuesto clave de la teoría neoclásica es el de la independencia estadística, que dice que cada alteración del precio del activo, sea grande o pequeña, “es independiente de la última, de manera que los cambios de precios de la semana o el año anterior no influyen en los actuales” (ibid., p. 104). Hemos visto también que esta asunción se vincula con la hipótesis de los mercados eficientes, esto es, con el supuesto de que el precio del activo (supongamos, una acción) ya tiene incorporada toda la información disponible.

La realidad, sin embargo, es que la trayectoria y la historia de los movimientos de precios influyen en los comportamientos actuales, lo cual además explica por qué  los cambios de precios tienden a agruparse. Así, cuando los precios tienden a aumentar (o bajar), tienen una ligera tendencia a seguir haciéndolo, y en esto intervienen las previsiones de los inversores, que pueden ser demasiado optimistas (o pesimistas). Lo cual evidencia que la historia importa, no solo en el corto plazo, sino también en el mediano y hasta largo plazo: “Lo que una compañía hace hoy (una fusión, una reorganización o el lanzamiento de un producto crítico) condiciona cómo se verá la compañía dentro de una década. Del mismo modo, los movimientos actuales de precios de sus acciones influirán en los de mañana. Ante las malas noticias, algunos inversores reaccionan de inmediato, mientras que otros, con diferentes metas financieras y horizontes a largo plazo, pueden esperar un mes o un año. Cualquiera que sea la explicación, podemos confirmar que el fenómeno existe, y contradice el modelo del paseo aleatorio” (ibid., p. 36; énfasis agregado). Por eso los movimientos de los precios muestran tendencias; que además, son irregulares. Y dado que hay tendencias, se estima que al menos la mitad de los especuladores monetarios apuestan a alguna forma de seguimiento de esas tendencias (ibid., p. 100).

Algo similar ocurre con la volatilidad: “Si los precios experimentan un fuerte oscilación hoy, se da un incremento mensurable de la probabilidad de que mañana oscilen con la misma intensidad. No es una pauta domesticable y mensurable del estilo de las que prefieren los economistas…” (ibid., p. 35). De ahí que la volatilidad tiende a agruparse y a variar con el tiempo, en lugar de ser un parámetro fijo (ibid., p. 120). Esto significa que la volatilidad alimenta más volatilidad, y subas fuertes o caídas fuertes tienden a agruparse. Naturalmente, el mercado puede estar durante mucho tiempo sin grandes movimientos, y en esos períodos los supuestos de la ecuación Black-Scholes parecen verificarse. Pero cuando comienza a haber oscilaciones, estas se reproducen, y pueden hacerlo en escala creciente. Además, cuando una tendencia se rompe, puede hacerlo de manera súbita, y de nuevo, las oscilaciones pueden ser extremas. Agreguemos que en esas coyunturas los sistemas financieros –y las economías en general- pueden entrar en movimientos caóticos. Todo esto está muy alejado del otro supuesto clave del movimiento browniano, la distribución gaussiana.

La crítica a la normalidad gaussiana

Como hemos adelantado, el movimiento browniano supone la normalidad estadística. Según la teoría ortodoxa, “los cambios de precio se ajustan a una distribución normal definida por la campana de Gauss; los cambios pequeños son mayoritarios y los cambios grandes, raros, con una frecuencia predecible y rápidamente descendente” (ibid., p. 104). Pero la realidad es que los cambios de precios se apartan, y mucho, de la campana de Gauss:

“… la campana de Gauss se ajusta muy poco a la realidad. Desde 1916 hasta 2003 los movimientos diarios del índice Dow Jones no se distribuyen sobre el papel como una campana de Gauss simple. Las colas se elevan demasiado, pues hay más cambios grandes de lo esperado. La teoría sugiere que, a lo largo de todo ese tiempo, debería haber habido 58 días en que el Dow Jones variara más del 3,4%M; en realidad, hubo 1001. La teoría predice seis días de variaciones por encima del 4,5%; hubo 366. Y las oscilaciones del índice por encima del 7% deberían darse una vez cada 300.000 años, mientras que el siglo XX contempló 48 de tales días. Una era ciertamente calamitosa que insiste en burlarse de todas las predicciones. O puede que nuestras asunciones estén equivocadas” (ibid., p. 36). Un poco antes, también se presenta el ejemplo de la caída de la bolsa de Wall Street en un 29,2%, ocurrida el 19 de octubre de 1987 (fue la mayor caída del siglo). Pues bien, según la teoría ad usum la probabilidad de ese suceso era inferior a 10-50 (no hay error, es 10 elevado a la menos 50). La realidad entonces es que “los vaivenes extremos delos precios son la norma en los mercados financieros, no aberraciones ignorables” (ibid., p. 42).

La razón de estos cambios bruscos la encontramos en los motores que impulsan los cambios en las valuaciones de las acciones. Por caso, las noticias sobre las ganancias de una empresa, la situación de la competencia, etcétera, influyen en el precio de una acción; de la misma manera, influyen sobre los precios noticias sobre inflación, déficit fiscal, política macroeconómica, etcétera. Desde un punto de vista marxista –que no es el de Mandelbrot- podemos decir que son noticias que se refieren a la  rentabilidad de las empresas, o a las condiciones más generales de reproducción de los capitales en un país, etcétera. Los economistas neoclásicos suelen afirmar que se trata de acontecimientos aleatorios que se distribuyen según la campana de Gauss. Pero la realidad es que grandes noticias causan grandes movimientos en los mercados, que se concentran en pequeños lapsos de tiempo y suelen provocar efectos dominó, arrastrando a todo tipo de activos. En todo esto existen, además, mecanismos amplificadores, propios de la lógica especulativa y del apalancamiento que empujó al alza previo a la catástrofe. Por ejemplo, cuando caen los precios de los títulos, se llama a reponer las garantías a los que han tomado préstamos. Y se les liquidan las posiciones, en caso de que no puedan hacerlo. Todo lo cual impulsa más liquidaciones de títulos financieros, arrastrando más y más mercados. Una realidad muy distinta del sosegado mundo en el que se concibe a la ecuación Black-Scholes.

Modelo físico matemático y relaciones sociales

En relación a la crítica de la economía ortodoxa, el problema de fondo es que la economía no puede ser asimilada a los procesos físicos, como pretende el discurso neoclásico. Es que el movimiento de los precios de los activos no es un fenómeno físico, sino expresión de relaciones sociales. No obstante, a partir del paradigma de la física, la economía neoclásica ha intentado convertir a la economía en una ciencia dura, en la que prevalece una concepción mecanicista, inspirada en la física newtoniana, que concebía al universo como un engranaje gigantesco, con comportamientos predecibles. En el caso de la teoría de los derivados, el modelo fue la mecánica estadística.

Esta actitud se potencia con lo que podemos llamar el fetichismo de las matemáticas. Se piensa que en la medida en que se logre establecer la correspondiente ecuación diferencial se ha llegado a “la ciencia”. Los economistas neoclásicos se encandilan con sus ecuaciones, pero parecen desconocer que ni siquiera fenómenos físicos relativamente simples muchas veces se dejan explicar con las ecuaciones. A veces porque ni siquiera se pueden elaborar las ecuaciones, y otras porque las ecuaciones no se pueden resolver. Por caso, el movimiento de un copo de nieve en el viento es imposible de expresarse con ecuaciones (véase, por ejemplo, Stewart, 2007). Pero si esto ocurre con fenómenos naturales, sometidos a leyes determinísticas, ¿cómo se puede pretender encerrar en una ecuación el movimiento social de millones de seres humanos, de las clases sociales, sus fracciones, organizaciones e instituciones? Es imposible.

Más en general, y como se ha demostrado con la teoría de la complejidad y el caos, fenómenos simples y repetitivos pueden dar lugar a procesos no lineales y, pasado un cierto umbral, a movimientos caóticos (véase, por ejemplo, Steuart, 2007 y Gribbin, 2007). Con mucha mayor razón esto se verifica en las ciencias sociales, donde actúan individuos con conciencia y memoria. Por ejemplo, en los mercados financieros es habitual que los inversores busquen anticiparse a los movimientos (de suba o baja) del mercado, y en estas anticipaciones cuentan, y mucho, las creencias y los estados de ánimo colectivo. Pero por esta razón las manías y los movimientos especulativos pueden prolongarse en el tiempo, en la medida en que muchos inversores están convencidos de que el movimiento alcista no tiene límites a la vista; o haya inversores que piensen que van a poder salir del mercado cinco minutos antes de que se desate la catástrofe. ¿Cómo encaja todo esto con la hipótesis de los mercados eficientes, el paseo aleatorio y el movimiento browniano de los precios? La respuesta: es imposible de encajar.

Es necesario tomar conciencia de que en la economía real existen fenómenos de retroalimentación y contagio, o movimientos en manada, que dan lugar a procesos no lineales, burbujas especulativas y caídas bruscas y explosivas. Los movimientos de retroalimentación, en particular, deben ser enfatizados. Un ejemplo típico de este tipo de movimiento es lo ocurrido en el mercado inmobiliario en los años previos al estallido de la crisis: se compraban propiedades con dinero tomado en préstamos a los bancos; la mayor demanda elevaba los precios de los inmuebles, lo que incrementaba la confianza de los bancos para seguir prestando; lo que elevaba los precios y aumentaba el atractivo de tomar nuevos préstamos garantizados por hipotecas… hasta que la burbuja estalló y todo fue en reversa. Lo importante es que los inversores y las instituciones financieras que están inmersas en esos procesos no tienen manera de saber cuándo va a acabar una burbuja, o si esta reventará a través de una brusca caída de los precios, o por un período prolongado de relativa quietud, en que la inflación erosione los precios en términos reales. De igual manera se puede decir que los inversores no tienen manera de saber cómo se moverán  los precios de los activos si caen las tasas de interés; o cuál será la evolución futura de tal o cual divisa, y cómo afectará a sus posiciones; o qué sucederá si una contraparte quiebra, y hasta qué grado estarán correlacionados los precios de los activos. Pero entonces no hay manera de captar estos procesos con ecuaciones como la Black-Scholes y sus supuestos de movimiento browniano y mercados eficientes.

La ecuación se queda muda ante las crisis

Lo desarrollado en los apartados anteriores podría explicar por qué la ecuación parece apta para establecer los precios de las opciones (o de los derivados), pero también tiene resonantes fracasos. Lo que parece ocurrir es que el modelo permite establecer precios en tanto los movimientos sean más o menos rutinarios, con varianzas estables. Aunque en ese caso, tampoco hay ganancias especulativas. De hecho, la ecuación Black-Scholes supone que, con mercados perfectos, el rendimiento de una opción es igual al de la cartera del activo subyacente y bonos del gobierno.

Sin embargo, la ecuación Black-Scholes se queda muda ante las grandes oscilaciones del mercado, que por lo general se relacionan a las crisis y desvalorizaciones masivas de capital. El caso del fondo de cobertura (hedge fund) Long Term Capital Manegement es, en este respecto, paradigmático, ya que en los 1990 estaba dirigido precisamente por Scholes y Merton. En 1997 estalló la crisis asiática, y subieron los spreads que pagaban los bonos de los países subdesarrollados y las empresas de baja calificación. Paralelamente, aumentaron los precios de los títulos del Tesoro de EEUU (o bajó la tasa de interés); es lo que se llama “fuga hacia la calidad” por parte de los inversores. Pues bien, a fines de ese año los estrategas de LTCM llegaron la conclusión de que la situación en Asia ya no podía empeorar, y que en 1998 mejorarían las condiciones económicas. En consecuencia LTCM asumió posiciones largas en bonos de mercados emergentes (países atrasados, Rusia) y de empresas de baja calificación crediticia; y posiciones cortas en bonos de bajo rendimiento, como los títulos del Tesoro. También entró en contratos swaps de intereses, basados en la diferencia entre la tasa Libor y los rendimientos de títulos gubernamentales de menor calificación. Todo apostando a la recuperación asiática en 1998. Pero la crisis empeoró en 1998, los bonos rusos defaultearon, y LTCM tuvo pérdidas de capital por más de 4000 millones de dólares. En este desastre, la ecuación Black-Scholes no tuvo nada que decir. Para terminar, de nuevo citamos a Mandelbrot:

“… desde hace años se sabe que (la ecuación) es simplemente incorrecta, porque hace asunciones no realistas: que la variación de los precios se ajusta a una campana de Gauss, que la volatilidad no cambia a lo largo de la vida de una opción, que los precios no saltan, que los impuestos y comisiones no existen, etcétera. Por supuesto, estas son simplificaciones que facilitan los cálculos. Y tan fácil era que durante los primeros quince años tras su publicación la fórmula se aplicó ciegamente. Se la contemplaba como una suerte de alquimia financiera que todo lo convertía en oro. Permitía a las corporaciones colgar una etiqueta con un precio a las opciones que ofrecían a sus ejecutivos. Permitía a los bancos diseñar productos financieros nuevos y cada vez más sofisticados. (…) Parecía la expresión más elevada de la ingeniería financiera. El riesgo quedaba abolido. Por supuesto, la verdad se redescubrió el 19 de octubre de 1987, el lunes negro, cuando una súbita caída del precio de las acciones se tradujo en el derribo de un muro de opciones supuestamente seguras que se hicieron añicos” (p. 277). Como también la verdad se volvió a “redescubrir” en la crisis de 2008-2009, y se “redescubre” en cada gran crisis del capitalismo.

Textos citados:
Griffin, J. (2007): Así de simple. El caos, la complejidad y la aparición de la vida, Barcelona, Crítica.
Mandelbrot, B. y R. L. Hudson (2010): Fractales y finanzas. Una aproximación matemática a los mercados: arriesgar, perder y ganar, Barcelona, Tusquets Editores.
Steuart, I. (2007): ¿Juega Dios a los dados?, Barcelona, Crítica.

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La ecuación Black-Scholes y un examen crítico (conclusión)

Written by rolandoastarita

27/06/2017 a 11:20

Publicado en Economía

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3 comentarios

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  1. Muy interesante la nota Profesor.
    Dado que no soy de economía, me es dificil comprender muchas cuestiones al respecto asi como también sobre matemática. Sin embargo algo siempre agarro, y en esta nota en particular veo un gran aporte a la desmitificación del valor de las matemáticas y el traspaso de la pretensión mecanicista de las ciencias naturales a la economía. No quiero decir que no sean importantes, en absoluto, pero es importante reconocer los límites y usted los marca precisamente.
    Desde mi ámbito de la filosofía, considero que sus críticas hacen una buena reivindicación del estudio filosófico de los conceptos y un estudio de índole interdisciplinaria que son fundamentales. Es decir, no se trata solo de ecuaciones, las hay, pero también hay conceptos y hay una realidad socio-histórica que las excede.

    Un saludo,
    Fernando.

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    Fernando Turri

    28/06/2017 at 19:37

    • Sí, efectivamente, intento criticar (junto a muchos otros autores considerados “heterodoxos”) el fetichismo de las matemáticas, que impera en la economía neoclásica. Los neoclásicos no solo intentan transformar a la Economía en una ciencia dura, similar a la física (más precisamente, similar a la física newtoniana), sino también disimulan detrás del formulismo matemático problemas conceptuales. Tal vez uno de los ejemplos más notables (pero hay muchos otros) sean los cálculos de la llamada “productividad total de los factores”: pueden calcular exactamente la PTF, sin poder definir qué es la PTF (llegan a admitir que “es una medida de nuestra ignorancia”; ver aquí).

      A los alumnos de Economics se les dice, casi desde el principio, que en tanto lo que se afirma esté puesto en ecuaciones, o formalizado, puede pasar por “ciencia”. Así, nunca se discute qué hay detrás. Al respecto, es muy ilustrativa la anécdota sobre la reacción de Poncaré ante la obra de Walras. Como es conocido, Walras estaba muy satisfecho con su sistema de ecuaciones (equilibrio general), y se lo llevó a Poincaré (el matemático francés más importante de su época). La reacción de Poincaré parece haber descolocado a Walras, ya que dijo que si no se discutían los supuestos, las matemáticas no servían de mucho.

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      rolandoastarita

      29/06/2017 at 11:49

  2. Profe Astarita : Muy buena nota y ante todo claro que es lo que importa, la critica del fetichismo de las matemáticas en lo neoclasicos que intentan convertir la ciencia de la economía política burguesa en dura es muy importante en estos tiempos, donde impera todo tipo de reducionismos discutir estos puntos. Dado que no soy estudiante de economía muchas veces sus textos me llevado a consultar manuales de economic ,con lo cual he aprendido bastante. Antes de concluir mi comentario, me gustaría consultarle si ud conoce algún autor de psicología marxista, a excepción del ruso Lev Vigotsky, ya que estudio psico y quisiera formarme críticamente en mi profesión.

    Un saludo
    Víctor Hugo.

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    Víctor Hugo

    30/06/2017 at 10:06


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